数独题目攻略 数独题解答

　　莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、 自然科学家。1707年4月15日出生于瑞士的 巴塞尔牧师家庭。15岁在 巴塞尔大学获 学士学位，翌年得 硕士学位。1727年，欧拉应 圣彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替 丹尼尔·伯努利成为物理教授。他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在 分析学、 数论和 力学方面作了大量出色的工作。1741年受 普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作，达25年之久。在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及 行星运动、 刚体运动、 热力学、 弹道学、 人口学，这些工作和他的数学研究相互推动。1766年他又回到了圣彼得堡。1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。

　　欧拉（人物）

　　如何获得

中文名莱昂哈德·欧拉国 籍瑞士出生日期 1707年（丁亥年）4月15日 职 业数学家，物理学家信 仰基督教代表作品《无穷分析引论》《微分学原理》《积分学原理》

外文名Leonhard Euler出生地瑞士逝世日期1783年9月18日毕业院校巴塞尔大学主要成就创立函数的符号创立分析力学解决了柯尼斯堡七桥问题给出各种欧拉公式星 座白羊座

　　目录

1人物简介

2欧拉生平

早年

在圣彼得堡

在柏林

视力恶化

其他

3职业生涯

4数学贡献

各领域贡献

其他贡献

5学术成就

他让微积分长大成人

全才数学家

最多产的数学家

6关于数独

7欧拉全集

计算和著作

《欧拉全集》

8时代背景

分析的时代

环境的因素

9所获评价

人类历史上最有影响的100人之一

大师评价

10纪念活动

前苏联

瑞士

德国

中国

美国

数频-欧拉常数

最著名欧拉常数是两个不同的无理数

The most different Euler constant is irrational number

参考资料：

　　大事记

　　光影集锦

　　图册集锦花絮视频

　　人物简介

　　欧拉1707年4月15日生于瑞士巴塞尔，1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。他生于牧师家庭。15岁在巴塞尔大学获学士学位，翌年得硕士学位。1727年，欧拉应圣彼得堡科学院的邀请到俄国。1731年接替丹尼尔第一·伯努利成为物理教授。他以旺盛的精力投入研究，在俄国的14年中，他在分析学、数论和力学方面作了大量出色的工作。1741年受普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院工作，达25年之久。在柏林期间他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学，这些工作和他的数学研究相互推动。欧拉这个时期在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域的研究都是开创性的。1766年他又回到了圣彼得堡。 欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域。他又是一个多产作者。他写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》、 《微分学原理》 、《积分学原理》都成为数学中的经典著作。除了教科书外，他的全集有74卷。 18世纪中叶，欧拉和其他数学家在解决物理问题过程中，创立了微分方程这门学科。值得提出的是，偏微分方程的纯数学研究的第一篇论文是欧拉写的《方程的积分法研究》 。欧拉还研究了函数用三角级数表示的方法和解微分方程的级数法等等。 欧拉引入了空间曲线的参数方程，给出了空间曲线曲率半径的解析表达式。1766年他出版了《关于曲面上曲线的研究》，建立了曲面理论。这篇著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的一个里程碑。欧拉在分析学上的贡献不胜枚举。如他引入了Γ函数和B函数，证明了椭圆积分的加法定理，最早引入了二重积分等等。数论作为数学中一个独立分支的基础是由欧拉的一系列成果所奠定的。他还解决了著名的组合问题：柯尼斯堡七桥问题。在数学的许多分支中都常常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。 小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》。这本书连他的几位老师都没读过。可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。1720年，13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学,得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导．。这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。

　　欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清．他对数学分析的贡献更独具匠心， 《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"．

　　欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．[1]

　　欧拉曾任彼得堡科学院教授，是柏林科学院的创始人之一。他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人。他认为质点动力学微分方程可以应用于液体（1750）。他曾用两种方法来描述流体的运动，即分别根据空间固定点（1755）和根据确定的流体质点（1759）描述流体速度场。前者称为欧拉法，后者称为拉格朗日法。欧拉奠定了理想流体的理论基础，给出了反映质量守恒的连续方程（1752）和反映动量变化规律的流体动力学方程（1755）。欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等。欧拉的专著和论文多达800多种。

　　小行星欧拉2002就是为了纪念欧拉而命名的。[2]

　　2

　　欧拉生平

　　早年

　　欧拉出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，父亲保罗·欧拉（Paul Euler）是基督教加尔文宗的牧师，保罗·欧拉早年在巴塞尔大学学习神学，后娶了一位牧师的女儿玛格丽特·布鲁克（Marguerite Brucker），也就是欧拉的母亲。欧拉是他们6个孩子中的长子。在欧拉出生后不久，他们全家就从巴塞尔搬迁至郊外的里恩,在那里欧拉度过了他童年的大部分时光。

　　欧拉最早是从他的父亲那里接触到一些数学，后来欧拉搬回巴塞尔和他的外祖母住在一起，并在那里开始了他的正式学业，在中学时期，由于欧拉所在的学校并不教授数学，他便私下里从一位大学生那里学习。

　　欧拉13岁时进入了巴塞尔大学，主修哲学和法律，但在每周星期六下午便跟当时欧洲最优秀的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）学习数学 。欧拉于1723年取得了他的哲学硕士学位，学位论文的内容是笛卡尔哲学和牛顿哲学的比较研究。之后，欧拉遵从了他父亲的意愿进入了神学系，学习神学，希腊语和希伯来语（欧拉的父亲希望欧拉成为一名牧师），但最终约翰·伯努利说服欧拉的父亲允许欧拉学习数学，并使他相信欧拉注定能成为一位伟大的数学家。1726年，欧拉完成了他的博士学位论文De Sono，内容是研究声音的传播。1727年，欧拉参加了法国科学院主办的有奖征文竞赛，当年的问题是找出船上的桅杆的最优放置方法。结果他得了二等奖，一等奖为被誉为“舰船建造学之父”的皮埃尔·布格（Pierre Bouguer）所获得，不过欧拉随后在他一生中一共12次赢得该奖项一等奖。

　　在圣彼得堡

　　这一时期，约翰·伯努利的两个儿子——丹尼尔·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas Bernoulli）——在位于俄国圣彼得堡的俄国皇家科学院工作，在尼古拉因阑尾炎于1726年7月去世后（此时距他来到俄国仅一年），丹尼尔便接替了他在数学/物理学所的职位，同时推荐欧拉来接替他自己在生理学所空出的职位。欧拉于1726年11月欣然接受了邀请，但并没有立即动身前往圣彼得堡，而是先申请巴塞尔大学的物理学教授，不过没有成功。

　　前苏联于1957年发行的邮票，纪念欧拉诞辰250周年。文字内容为：欧拉，伟大的数学家和学者，诞辰250周年。

　　欧拉于1727年5月17日抵达圣彼得堡，在丹尼尔等人的请求下，科学院将欧拉指派到数学/物理学所工作，而不是起初的生理学所。欧拉与丹尼尔保持着密切的合作关系，并且与丹尼尔住在一起。在1727年至1730年间，欧拉还担任了俄国海军医官的职务。

　　俄国皇家科学院由彼得大帝于1724年创建，在彼得大帝和他的继任者凯瑟琳女皇主政时期，科学院是一个对外国学者具有吸引力的地方。科学院有充足的资金来源和一个规模庞大的综合图书馆，并且只招收非常少的学生，以减轻教授们的教学负担。科学院还非常重视研究，给予教授们充分的时间及自由，让他们探究科学问题 。

　　凯瑟琳女皇，同时也是科学院的资助者，于欧拉到达圣彼得堡的当天去世。其后彼得二世继位，彼得二世是个软弱的君主，实际权力由俄国贵族掌握。贵族们对科学院的外国科学家心存戒心，于是他们切断了对欧拉及其同事们的财政资助，并且在其它方面找他们的麻烦。

　　情况在彼得二世去世（1730年）后有所好转，欧拉在科学院迅速得到提升，并于1731年获得物理学教授的职位。两年后，由于受不了在圣彼得堡受到的种种审查和敌视，丹尼尔·伯努利返回了巴塞尔，欧拉于是接替丹尼尔成为数学所所长 。1735年，欧拉还在科学院地理所担任职务，协助编制俄国第一张全境地图。

　　1734年1月7日，欧拉迎娶了科学院附属中学的美术教师，瑞士人乔治·葛塞尔（Georg Gsell）的女儿，柯黛琳娜·葛塞尔（Katharina Gsell，1707-1773） ，两人共育有13个子女，其中仅有5个活到成年 。

　　在柏林

　　考虑到俄国持续的动乱，欧拉在1741年6月19日离开了圣彼得堡，到柏林科学院就职，职位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了25年，并在那儿写了不止380篇文章。在柏林，他出版了他最有名的两部作品：关于函数方面的文章《无穷小分析引论》，出版于1748年；另一部是关于微分的《微积分概论》， 出版于1755年。 在1755年，他成为瑞典皇家科学院的外籍成员。

　　视力恶化

　　在欧拉的数学生涯中，他的视力一直在恶化。在1735年一次几乎致命的发热后的三年，他的右眼近乎失明，但他把这归咎于他为圣彼得堡科学院进行的辛苦的地图学工作。视力在他在德国期间也持续恶化，以至于弗雷德里克把他誉为“独眼巨人”。欧拉的原本正常的左眼后来又遭受了白内障的困扰。在他于1766年被查出有白内障的几个星期后，导致了他的近乎完全失明。即便如此，病痛似乎并未影响到欧拉的学术生产力，这大概归因于他的心算能力和超群的记忆力。比如，欧拉可以从头到尾不犹豫地背诵维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》，并能指出他所背诵的那个版本的每一页的第一行和最后一行是什么。在书记员的帮助下，欧拉在多个领域的研究其实变得更加高产了。在1775年，他平均每周就完成一篇数学论文。

　　其他

　　欧拉年轻时曾研读神学，他一生虔诚、笃信上帝，并不能容许任何诋毁上帝的言论在他面前发表。有一个广泛流传的传说说到，欧拉在叶卡捷琳娜二世的宫廷里，挑战当时造访宫廷的无神论者德尼·狄德罗：“先生，，所以上帝存在，请回答！”不懂数学的德尼完全不知怎么应对，只好投降。但是由于狄德罗事实上也是一位有作为的数学家，这个传说有可能属于虚构。

　　欧拉是史上发表论文数第二多的数学家，全集共计75卷；他的纪录一直到了20世纪才被保罗·埃尔德什打破。后者发表的论文达1525篇，著作有32部。欧拉在他的时代，产量之多，无人能及。欧拉实际上支配了18世纪至今的数学；对于当时新数学分支微积分，他推导出了很多结果。很多数学的分枝，也是由欧拉所创或因而有了极大的进展。

　　在1765年至1771年据说是因欧拉双眼直接观察太阳，双眼先后失明。尽管人生最后7年，欧拉的双目完全失明，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。

　　1783年9月18日，晚餐后，欧拉一边喝着茶，一边和小孙女玩耍，突然之间，烟斗从他手中掉了下来。他说了一声：“我的烟斗”，并弯腰去捡，结果再也没有站起来，他抱着头说了一句：“我死了”。“欧拉停止了计算和生命”。后面这句经常被数学史家引用的话，出自法国哲学家兼数学家孔多塞之口：“...il cessa de calculer et de vivre（他停止了计算和生活）”（he ceased to calculate and to live）。[3]

　　3职业生涯

　　欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗．他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文．19世纪伟 大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法．"

　　欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点数学．由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到 约翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了．

　　1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡．1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明．不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了．

　　沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来．在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录．欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久．

　　欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成．有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来．欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题．

　　欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉．他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师．" 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉就写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"．

　　4

　　数学贡献

　　各领域贡献

　　在数学领域内，18世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。

　　1．数论

　　欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。

　　2．代数

　　欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。

　　3．无穷级数

　　欧拉的《微分学原理》（Introductio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777年，为了把一个给定函数展成在（0，“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法。这些丰富的思想，对19世纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。

　　4．函数概念

　　18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑四式的著作。

　　5．初等函数

　　《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论。其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式——欧拉恒等式（表达式中用表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用表示虚数单位），但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年，欧拉发表了完备的复数理论。

　　6．单复变函数

　　通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。

　　7．微积分学

　　欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。

　　8．微分方程

　　《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。

　　在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词。1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。

　　欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的。

　　9．变分法

　　1734年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。

　　10．几何学

　　坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程。

　　微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。

　　欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题，得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。

　　其他贡献

　　欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），Σ（1755年），f(x)（1734年）等．

　　欧拉和丹尼尔·伯努利一起，建立了弹性体的力矩定律：作用在弹性细长杆上的力矩正比于物质的弹性和通过质心轴和垂直于两者的截面的惯性动量。

　　他还直接从牛顿运动定律出发，建立了流体力学里的欧拉方程。这些方程组在形式上等价于粘度为0的纳维-斯托克斯方程。人们对这些方程的主要兴趣在于它们能被用来研究冲击波。

　　他对微分方程理论作出了重要贡献。他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。此中最有名的被称为欧拉方法。

　　在数论里他引入了欧拉函数。

　　自然数的欧拉函数被定义为小于并且与互质的自然数的个数。例如φ（8）=4，因为有四个自然数1，3，5和7与8互质。

　　在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。

　　在分析领域，是欧拉综合了莱布尼兹的微分与牛顿的流数。

　　他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声。

　　欧拉将虚数的幂定义为欧拉公式，它成为指数函数的中心。

　　在初等分析中，从本质上来说，要么是指数函数的变种，要么是多项式，两者必居其一。被理查德·费曼称为“最卓越的数学公式'”的则是欧拉公式的一个简单推论（通常被称为欧拉恒等式）。

　　在1735年，他定义了微分方程中有用的欧拉-马歇罗尼常数。他是欧拉-马歇罗尼公式的发现者之一，这一公式在计算难于计算的积分、求和与级数的时候极为有效。

　　在1739年，欧拉写下了《音乐新理论的尝试(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，书中试图把数学和音乐结合起来。一位传记作家写道：这是一部"为精通数学的音乐家和精通音乐的数学家而写的"著作。

　　在经济学方面，欧拉证明，如果产品的每个要素正好用于支付它自身的边际产量，在规模报酬不变的情形下，总收入和产出将完全耗尽。

　　在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式给出了单联通多面体的边、顶点和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之间存在的关系。

　　在1736年，欧拉解决了柯尼斯堡七桥问题，并且发表了论文《关于位置几何问题的解法 》，对一笔画问题进行了阐述，是最早运用图论和拓扑学的典范。

　　数独是欧拉发明的拉丁方块的概念，在当时并不流行，直到20世纪由平凡日本上班族锻治真起，带起流行。[4]

　　5

　　学术成就

　　数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语，牛顿因为苹果闻名世界，高斯少年时就显露出计算天赋，唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻。

　　然而，几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字——初等几何的 欧拉线、多面体的欧拉定理、立体 解析几何的欧拉变换公式、 数论的欧拉函数、 变分法的欧拉方程、 复变函数的欧拉公式……欧拉还是数学史上最多产的数学家，他一生写下886种书籍论文，平均每年写出800多页， 彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47年。他的著作 《无穷小分析引论》、 《微分学》、 《积分学》是18世纪 欧洲标准的 微积分教科书。欧拉还创造了一批数学符号，如f(x)、Σ、i、e等等，使得数学更容易表述、推广。并且，欧拉把数学应用到数学以外的很多领域。

　　法国大数学家拉普拉斯曾说过一句话——读读欧拉，他是所有人的老师。中国科学院数学与系统科学研究院研究员李文林表示：“欧拉其实是大家很熟悉的名字，在数学和物理的很多分支中到处都是以欧拉命名的常数、公式、方程和定理，他的探索使得科学更接近我们现在的形态。”

　　他让微积分长大成人

　　恩格斯曾说，微积分的发明是人类精神的最高胜利。1687年，牛顿在《自然哲学数学原理》一书中首次公开发表他的微积分学说，几乎同时，莱布尼茨也发表了微积分论文，但牛顿、莱布尼茨创始的微积分基础不稳，应用范围也有限。18世纪一批数学家拓展了微积分，并拓广其应用产生一系列新的分支，这些分支与微积分自身一起形成了被称为“分析”的广大领域。李文林说：“欧拉就生活在这个分析的时代。如果说在此之前数学是代数、几何二雄并峙，欧拉和18世纪其他一批数学家的工作则使得数学形成了代数、几何、分析三足鼎立的局面。如果没有他们的工作，微积分不可能春色满园，也许会打不开局面而荒芜凋零。欧拉在其中的贡献是基础性的，被尊为‘分析的化身’。”

　　中国科学院数学与系统科学研究院研究员胡作玄说：“牛顿形成了一个突破，但是突破不一定能形成学科，还有很多遗留问题。”比如，牛顿对无穷小的界定不严格，有时等于零有时又参与运算，被称为“消逝量的鬼魂”，当时甚至连教会神父都抓住这点攻击牛顿。另外，由于当时函数有局限，牛顿和莱布尼茨只涉及到少量函数及其微积分的求法。而欧拉极大地推进了微积分，并且发展了很多技巧。

　　“在分析之前，数学主要是解决常量、匀速运动问题。18世纪工业革命时，以蒸汽机纺织机等机械为主体技术得到广泛运用，但如果没有微积分、没有分析，就不可能对机械运动与变化进行精确计算。”李文林表示，到为止，微积分和微分方程仍然是描写运动的最有效工具，教科书中陈述的方法，不少属欧拉的贡献。更重要的是，牛顿、莱布尼茨微积分的对象是曲线，而欧拉明确地指出，数学分析的中心应该是函数，第一次强调了函数的角色，并对函数的概念作了深化。

　　变分法来源于微积分，后来由欧拉和拉格朗日从不同的角度把它发展成一门独立学科，用于求解极值问题。而变分学起源颇富戏剧性——1696年，欧拉的老师、巴塞尔大学教授约翰·伯努利提出这样一个问题，并向其他数学家挑战：设想一个小球从空间一点沿某条曲线滚落到(不在同一垂直线上的)另外一点，问什么形状的曲线使球降落用时最短。这就是著名的“最速降线问题”，半年之后仍没人解出，于是伯努利更明确地表示“即使是那些对自己的方法自视甚高的数学家也解决不了这个问题”。有人说他在影射牛顿，因为伯努利是莱布尼茨的追随者，而莱布尼茨和牛顿正因为微积分优先权的问题在“打仗”，并导致欧洲大陆和英国数学家的分裂。

　　当时牛顿任伦敦造币局局长。有一天他收到一个法国朋友转寄的“挑战书”，于是吃过晚饭后挑灯夜战，天亮前解了出来，匿名发表在剑桥大学《哲学会刊》。虽是匿名，但约翰·伯努利看到之后惊呼：“从这锋利的爪我认出了这头雄狮。”后来伯努利兄弟和莱布尼茨也都解出了这个问题，发表在同一期刊物上。

　　在这个问题中，变量本身就是函数，因此比微积分的极大极小值问题更为复杂。这个问题和其他一些类似问题的解决，成为变分法的起源。欧拉找到了解决这类问题的一般方法，教科书中变分法的基本方程就叫欧拉方程。

　　欧拉13岁上大学时，约翰·伯努利已经是欧洲很有名的数学家，伯努利后来对欧拉说，“我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。”

　　全才数学家

　　李文林说：“除了分析，很多数学领域都绕不开欧拉的名字。如数论，高斯说数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后，其难度和地位可想而知。”代数数论的形成和费马大定理有很深的关系。费马17世纪提出的一个猜想——方程，当n≥3时没有整数解。费马猜想也称费马大定理，费马在提出这一猜想的同时，在纸边写了一句话宣称：“我已找到了一个奇妙的证明，但书边空白太窄，写不下。”于是费马的证明已成千古之谜。此后经过300年，直到1993年费马大定理才被英国数学家最终解决。整个18世纪，数学家们都想解决这个猜想，但只有欧拉作出了唯一的成果，证明了n=3的情况，成为费马大定理研究的第一个突破。

　　欧拉是解析数论的奠基人，他提出欧拉恒等式，建立了数论和分析之间的联系，使得可以用微积分研究数论。后来，高斯的学生黎曼将欧拉恒等式推广到复数，提出了黎曼猜想，至今没有解决，成为向21世纪数学家挑战的最重大难题之一。

　　“在几何方面，欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题，这也成为图论、拓扑学的滥觞。”李文林说。哥尼斯堡曾是德国城市，后属苏联。普雷格尔河穿城而过，并绕流河中一座小岛而分成两支，河上建了7座桥。传说当地居民想设计一次散步，从某处出发，经过每座桥回到原地，中间不重复。李文林说：“这就是今天的‘一笔画’问题，但在当时没人能解决。欧拉将这个问题变成一个数学模型，用点和线画出网络状图，证明这种走法不存在，解决了哥尼斯堡七桥问题。对此类问题的讨论研究，事实上引导了图论和拓扑学的发展。”

　　拓扑学中的欧拉示性数也溯源于欧拉1752年提出的关于凸多面体的一条定理：

　　在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2。

　　陈省身曾指出欧拉示性数是很多问题和解决办法的来源，对几何学的影响是根本性的。李文林说：“因为数学好，欧拉得以解决很多其他领域的问题。物理、力学、天文学、航海、大地测量等等到处都有欧拉的贡献，他是典型的全才数学家。牛顿、莱布尼茨发明的微积分可以说是‘原生态’，而欧拉18世纪写的文章我们现在依然能读，可以说欧拉等人使得数学特别是分析向现代形式发展。”

　　最多产的数学家

　　欧拉是历史上最多产的数学家。瑞士自然科学基金会组织编写《欧拉全集》，计划出84卷，每卷都是4开本(一张报纸大小)。如果按每本300页计算，欧拉从18岁开始每天得写1张半纸。然而这些只是遗存的作品，欧拉的手稿在1771年彼得堡大火中还丢失了一部分。欧拉曾说他的遗稿大概够彼得堡科学院用20年。但实际上在他去世后的第80年，彼得堡科学院院报还在发表他的论著。

　　“天才在于勤奋，欧拉就是这条真理的化身。”李文林表示，“很多科学家都很勤奋，而欧拉最为典型。他失明后的十多年都是在完全看不见的情况下作研究。欧拉心算能力很强，可以通过口述让别人记录。有一次欧拉的两个学生算无穷级数求和，算到第17项时两人在小数点后第50位数字上发生争执，欧拉这时进行心算，迅速给出了正确答案。”

　　“高斯的神童故事虽然有趣，但并不是每个人都是神童。即使是身为神童的高斯，其勤奋也是出名的。可以说凡有大成就的数学家必有大勤奋。”李文林举例说，被誉为“现代分析之父”的德国数学家魏尔斯特拉斯也是异常勤奋。大学毕业后他在一所偏僻的中学任教14年，教数学、德语、书法、体育，每天晚上以惊人的毅力坚持研究，当时工资很低，连投稿的邮费都没有。后来由于偶然的机会他的研究论文被德国数学家克莱尔创办的数学杂志发表出来(克莱尔杂志以帮助没出名的年轻学子发表创新成果而著称)，震惊了欧洲科学界。

　　胡作玄认为，欧拉的成功说明了一个人的潜能。“高斯曾说，要像欧拉那样做，我的眼睛也要瞎了。一个人要想做事是没有问题的，只是现在社会比较复杂，我们应该为科学而科学，为艺术而艺术。”

　　除了做学问，欧拉还很有管理天赋，他曾担任德国柏林科学院院长助理职务，并将工作做得卓有成效。李文林说：“有人认为科学家尤其数学家都是些怪人，其实只不过数学家会有不同的性格、阅历和命运罢了。牛顿、莱布尼茨都终身未婚，欧拉却不同。”欧拉喜欢音乐、生活丰富多彩，结过两次婚，生了13个孩子，存活5个，据说工作时往往儿孙绕膝。他去世的那天下午，还给孙女上数学课，跟朋友讨论天王星轨道的计算。突然说了一句“我要死了”，说完就倒下，停止了生命和计算。

　　回顾欧拉的一生，李文林认为：“虽然他20岁离开瑞士，一直没有回去过，但他却是一个爱国者，至死没有改变国籍。所以现在我们还能说他是瑞士数学家。”

　　“牛顿、莱布尼茨、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯都是全面的数学家。后来随着科学的发展，全才越来越少，有人说庞加莱也许是最后一个。”但是数学并不会因此枯萎，李文林说：“18世纪末曾有一种悲观主义在数学家中蔓延，连拉格朗日这样的大数学家都认为数学到头了，但事实相反，19世纪初非欧几何的发现、群论的创立以及微积分严格化的突破，使数学获得了意想不到的蓬勃发展。现代数学，特别是跟计算机结合起来之后，肯定还会有新的形态。”[5]

　　6

　　关于数独

　　从2008年以来，一种名为“数独”的填数游戏风靡全球。这种游戏规则极其简单，玩法却变化多端，令全世界的男女老少为之痴狂。2004年，英国《泰晤士报》开风气之先，在报上公布“数独”题目娱乐大众。从那时起，短短几年光景，如今全世界大约有60个国家的350多家报纸几乎天天刊登“数独”游戏题目。近两年来，中国各地的日报、晚报后起直追，划出专门的版面，天天报道有关“数独”竞赛的消息，刊载“数独”题目。各国各大城市纷纷举办“数独”竞赛。在英国，“数独 ”竞赛上了电视台的黄金档节目。2006年在意大利举行了第一届世界“数独”锦标赛，获奖者被认为“智商超群”，在全世界备受瞩目。

　　不少“数独”爱好者都知道，这种游戏的普及多亏了一位名叫戈尔德的新西兰人。此人曾在香港担任法官15年，1 996年退休以后的一次旅行途经日本，在机场偶然发现介绍“数独”游戏的小册子。戈尔德立刻着迷，从此专注于“数独” 游戏的开发推广，他也因此而发了大财。但鲜为人知的是，“数独”游戏本身虽非数学问题，但是其来源却是一种被称之为“ 拉丁方阵”的古老数学问题，最先对它展开研究的是18世纪传奇而又高产的大数学家莱昂纳德·欧拉。

　　对于“拉丁方阵”的研究，在欧拉的学术范围内并不占据主要位置。这个问题源自于当年普鲁士国王腓特烈为他的仪仗队排阵。国王有一支由36名军官组成的仪仗队，军官分别来自6支部队，每支部队中都有上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。国王要求这36名军官排成6行6列的方阵，每一行，每一列的6名军官必须来自不同的部队，并且军衔各不相同。问题看似简单，腓特烈绞尽脑汁却怎么也排列不出来，于是向著名的数学家欧拉求教。欧拉研究之后告诉国王，不必枉费心机，因为这个问题根本无解。欧拉之后，很多数学家开始研究“拉丁方阵”，并留下很多这方面的定理。[6]

　　7

　　欧拉全集

　　计算和著作

　　“欧拉进行计算看起来毫不费劲儿，就像人进行呼吸，像鹰在风中盘旋一样。”(阿拉戈说)，这句话对欧拉那无与伦比的数学才能来说并不夸张，他是历史上最多产的数学家。与他同时代的人们称他为“分析的化身”。欧拉撰写长篇学术论文就像一个文思敏捷的作家给亲密的朋友写一封信那样容易。甚至在他生命最后17年间的完全失明也未能阻止他的无比多产，如果说视力的丧失有什么影响的话，那倒是提高了他在内心世界进行思维的想像力。

　　欧拉到底出了多少著作，直至1936年人们也没有确切的了解。但据估计，要出版已经搜集到的欧拉著作，将需用大4开本60至80卷。彼得堡学院为了整理他的著作整整花了47年。1909年瑞士自然科学联合会曾着手搜集、出版欧拉散轶的学术论文。这项工作是在全世界许多个人和数学团体的资助之下进行的。这也恰恰显示出，欧拉属于整个文明世界，而不仅仅屈于瑞士。为这项工作仔细编制的预算(1909年的钱币约合80000美元)却又由于在圣彼得堡(列宁格勒)意外地发现大量欧拉手稿而被完全打破了。

　　《欧拉全集》

　　据统计，欧拉一生平均每年发表八百页的学术论文，内容涵盖多个学术范畴。1911年，数学界系统地开始出版欧拉的著作，并定名为《欧拉全集》(Opera Omnia)，全集计划出84卷，迄今已上架者已有80卷，剩余还剩下4卷正在筹备中。平均每卷厚达五百多页，重约四磅。预计《欧拉全集》全部出齐时约重三百磅。[7]

　　8

　　时代背景

　　分析的时代

　　欧拉的数学生涯开始于牛顿(Newton)去世的那一年。对于欧拉这样一个天才人物，不可能选择到一个更有利的时代了。解析几何(1637年问世)已经应用了90年，微积分大约50年，牛顿(Newton)万有引力定律这把物理天文学的钥匙，摆到数学界人们面前已40年。在这每一个领域之中，都已解决了大量孤立的问题，同时在各处做了进行统一的明显尝试。但是还没有像后来做的那样，对整个数学，纯粹数学和应用数学，进行任何有系统的研究。特别是笛卡儿(Descrates)、牛顿(Newton)和莱布尼茨(Leibniz)强有力的分析方法还没有像后来那样被充分运用，尤其在力学和几何学中更是如此。

　　那时代数学和三角学已在一个较低的水平上系统化并扩展了。特别是后者已经基本完善。欧拉也证明了他确是个大师。事实上，欧拉多方面才华的最显著特点之一，就是在数学的两大分支－－连续的和离散的数学中都具有同等的能力。

　　作为一个算法学家，欧拉从没有被任何人超越过。也许除了雅可比之外，也没有任何人接近过他的水平。算法学家是为解决各种专门问题设计算法的数学家。举个很简单的例子，我们可以假定(或证明)任何正实数都有实数平方根。但怎样才能算出这个根呢？已知的方法有很多，算法学家则要设计出切实可行的具体步骤来。再比如，在丢番图分析中，还有积分学里，当一个或多个变量被其他变量的函数进行巧妙的(常常是简单的)变换之前，问题往往不可能解决。算法学家就是自然地发现这种窍门的数学家。他们没有任何同一的程序可循，算法学家就像随口会作打油诗的人－－是天生的，而不是造就的。

　　当一个真正伟大的算法学家像印度的罗摩奴阇一样不知从什么地方意外来临的时候，就是有经验的分析学者也会欢呼他是来自天国的恩赐：他那简直神奇的对表面无关公式的洞察力，会揭示出隐藏着的由一个领域导向另一个领域的线索。从而使分析学者得到为他们提供的弄清这些线索的新题目。算法学家是"公式主义者"，他们为了公式本身的缘故而喜欢美观的形式。

　　环境的因素

　　在谈到欧拉平静而有趣的生活之前，我们必须介绍一下他那个时代的两个环境因素，这些因素促进了他的惊人的活跃，并对他的活动有指导作用。

　　在18世纪的欧洲，大学不是学术研究的主要中心。假如没有古典派的传统及其对科学研究的可以想像的敌意，大学本来是可以成为主要中心的。数学对于古代人足够严密，受到重视；而物理学比较新，受到人们的怀疑。此外，在当时的大学里，人们希望数学家把他的大部分力量放在基础教学上。至于学术研究，如果搞的话，那将是毫无益处的奢侈，就像今天在一般的美国高等学校里那样。那时候英国大学的研究员们能够把他们选择的课题搞得相当好。然而，他们很少愿意选择什么课题，反正搞成了什么或没搞成什么都不会对他们的面包和黄油产生影响。在如此的松弛，或者说公开的敌意之下，根本没有什么好理由来解释为什么那些大学本来应该在科学发展中起带头作用，而事实上却没有起到。

　　这个带头的责任由得到慷慨或有远见的统治者所资助的各个皇家科学院承担了。普鲁士腓特烈大帝和俄国叶卡捷琳娜女皇慷慨地给了数学以无法报偿的资助。他们使得数学的发展有可能在整整一个世纪之中处于科学史上一个最活跃的时期。对欧拉来说，是柏林和圣彼得堡提供了数学创作的力量。而这两个创造力的中心都应当把它们对欧拉的激励归功于莱布尼茨(Leibniz)不断进取的雄心。是莱布尼茨(Leibniz)起草过规划的这两个科学院给欧拉提供了成为历史上最多产的数学家的机会。因而，在某种意义上说，欧拉是莱布尼茨(Leibniz)的苗裔。

　　柏林科学院由于缺乏头脑而日渐衰败已有40年，欧拉在腓特烈大帝的鼓励下给了它有力的冲击，使它再次有了生气。彼得大帝在世时没来得及按照莱布尼茨(Leibniz)的规划建立起来的圣彼得堡科学院，则由他的继位者建立起来了。

　　这两个科学院不像今天一些科学院那样以鉴定精心撰写的优秀著作，授予院士资格为主要职责。它们是研究机构，雇佣院士进行科学研究。薪水和津贴金很优厚，使人足以保证本身家庭的舒适生活。欧拉的家属一度不少于18个人，他还是足以维持他们都过着丰裕的生活。使18世纪院士生活具有吸引力的最后一点是，他的孩子们只要有任何一点才能，都肯定会得到很好的施展机会。

　　接下来我们就会看到对欧拉的丰硕数学成果具有决定性影响的第二个因素。提供财政支持的统治者很自然地会希望他们的金钱除开抽象的文化之外再多换到些东西。但必须强调的是，一旦统治者的投资得到了适当的报偿，他们就不再坚持要受雇佣的人把剩余时间也花到"生产性"工作上了。欧拉、拉格朗日和其他院士们都可以自由地做他们乐意做的工作。没有任何明显的压力来迫使谁搞出点什么能被政府直接利用的实际成果。18世纪统治者们比今天许多研究院院长更明智的是让科学按自己的规律发展的，只不过偶尔提到他们眼前需要什么。他们似乎本能地意识到了，只要不时作个恰当的暗示，所谓的"纯粹"研究就会把他们期待的紧迫实际问题作为副产品搞出来。

　　这个笼统的说法有一个重要的例外，它既不证明，也不否定这个规律。刚巧在欧拉的时代，数学研究中悬而未决的问题正好与海洋霸权这个当时也许是第一等的实际问题联系在一起。航海技术胜过所有其他对手的国家必然会控制海洋。而航海的首要问题是在离岸数百海浬的大海中精确地确定舰船的位置，以使之比敌手更快地航抵海战的地点(不幸，只是为了这个)。正如众所周知的，英国控制了海洋。它能做到这一点，在很大程度上是由于它的航海家在18世纪能够把天体力学中的纯数学研究成果加以实际应用。这样一项实际应用正与欧拉直接有关。现代航海的奠基人当是牛顿(Newton)，尽管他本人并不曾为这个问题费过脑筋，也从不曾(就人们迄今所知)踏上过一艘舰船的甲板。确定海上船的位置要靠观测天体(在特别的航行中有时这要包括木星的卫星)。牛顿(Newton)万有引力定律表明必要时以充分的耐心可以预先算出百年之内的行星位置和月相盈亏之后，希望控制海洋的那些人便安排航海天文历的计算人员下苦功编制行星未来位置的表格。

　　在这一项很实用的事业中，月亮引出了特别棘手的问题，即牛顿定律彼此吸引的三个星体的问题。当我们进入20世纪的时候，这个问题还要重现许多次。欧拉是第一个为这个月球问题提出一种可以计算的解法(月球理论)的人。这三个相关星体是月亮、地球和太阳。虽然关于这个问题在这里谈不了什么，要推到后几章去，但我们可以说，这个问题是整个数学范畴内最难的问题之一。欧拉不曾具体解答这个问题，但他的近似计算方法(今天被更好的方法代替)具有充分的实用价值，足以使英国的计算人员为英国海军部算出月球表了。为此，计算者获得5000英镑(当时这是相当大的一笔款子)，欧拉因其方法而得到300英镑的奖金。

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　　所获评价

　　人类历史上最有影响的100人之一

　　欧拉是18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。十八世纪瑞士数学家和物理学家伦哈特·欧拉始终是世界最杰出的科学家之一。他的全部创造在整个物理学和许多工程领域里都有着广泛的应用。 欧拉的数学和科学成果简直多得令人难以相信。他写了三十二部足本著作，其中有几部不止一卷，还写下了许许多多富有创造性的数学和科学论文。总计起来，他的科学论著有七十多卷。欧拉的天才使纯数学和应用数学的每一个领域都得到了充实，他的数学物理成果有着无限广阔的应用领域。

　　早在上一个世纪，艾萨克·牛顿就提出了力学的基本定律。欧拉特别擅长论证如何把这些定律运用到一些常见的物理现象中。例如，他把牛顿定律运用到流体运动，建立了流体力学方程。同样他通过认真分析刚体的可能运动并应用牛顿定律建立了一个可以完全确定刚体运动的方程组。当然在实际中没有物体是完全刚体。欧拉对弹性力学也做出了贡献，弹性力学是研究在外力的作用下固体怎样发生形变的学说。

　　欧拉的天才还在于他用数学来分析天文学问题，特别是三体问题，即太阳、月亮和地球在相互引力作用下怎样运动的问题。这个问题──二十一世纪仍要面临的一个问题──尚未得到完全解决。顺便提一下，欧拉是十八世纪独一无二的杰出科学家。他支持光波学说，结果证明他是正确的。

　　欧拉丰富的头脑常常为他人做出成名的发现开拓前进的道路。例如，法国数学家和物理学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日创建一方程组，叫做“拉格朗日方程”。此方程在理论上非常重要，而且可以用来解决许多力学问题。但是由于基本方程是由欧拉首先提出的，因而通常称为欧拉—拉格朗日方程。一般认为另一名法国数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶创造了一种重要的数学方法，叫做傅里叶分析法，其基本方程也是由伦哈特·欧拉最初创立的，因而叫做欧拉—傅里叶方程。这套方程在物理学的许多不同的领域都有着广泛的应用，其中包括声学和电磁学。

　　在数学方面他对微积分的两个领域──微分方程和无穷级数──特别感兴趣。他在这两方面做出了非常重要的贡献，但是由于专业性太强不便在此加以叙述。他对变分学和复数学的贡献为后来所取得的一切成就奠定了基础。这两个学科除了对纯数学有重要的意义外，还在科学工作中有着广泛的应用。欧拉公式表明了三角函数和虚数之间的关系，可以用来求负数的对数，是所有数学领域中应用最广泛的公式之一。欧拉还编写了一本解析几何的教科书，对微分几何和普通几何做出了有意义的贡献。

　　欧拉不仅在做可应用于科学的数学发明上得心应手，而且在纯数学领域也具备几乎同样杰出的才能。但是他对数论做出的许多贡献非常深奥难懂，不宜在此叙述。欧拉也是数学的一个分支拓扑学领域的先驱，拓扑学在二十世纪已经变得非常重要。

　　最后要提到的一点也很重要，欧拉对使用的数学符号制做出了重要的贡献。例如，常用的希腊字母π代表圆周率就是他提出来的。他还引出许多其它简便的符号，数学中经常使用这些符号。

　　即使没有欧拉其人，他的一切发现最终也会有人做出。但是我认为做为衡量这种情况的尺度应该提出这样的问题：要是根本就没有人能做出他的发现，科学和现代世界会有什么不同呢？就伦哈特·欧拉的情况而言，答案看来很明确：假如没有欧拉的公式、方程和方法，现代科学技术的进展就会滞后不前，实际上看来是不可想象的。浏览一下数学和物理教科书的索引就会找到如下查照：欧拉角（刚体运动）、欧拉常数（无穷级数）、欧拉方程（流体动力学）、欧拉公式（复合变量）、欧拉数（无穷级数）、欧拉多角曲线（微分方程）、欧拉齐性函数定理摘微分方程）、欧拉变换（无穷级数）、伯努利—欧拉定律（弹性力学）、欧拉—傅里叶公式（三角函数）、欧拉—拉格朗日方程（变分学，力学）以及欧拉一马克劳林公式（数字法），这里举的仅仅是最重要的例子。

　　欧拉的著述浩瀚，不仅包含科学创见，而且富有科学思想，他给后人留下了极其丰富的科学遗产和为科学献身的精神。历史学家把欧拉同阿基米德、牛顿、高斯并列为数学史上的“四杰”。如今，在数学的许多分支中经常可以看到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

　　从所有这一切来看，有些人可能要问为什么在美国学者迈克尔.哈特在其所着的《历史上最有影响的100人》中没有把欧拉的名次排得更高些，其主要原因在于虽然欧拉在论证如何应用牛顿定律方面获得了杰出的成就，但是他自己从未发现任何独创的科学定律，这就是为什么要把威廉·康拉德，伦琴和格雷戈尔·孟德尔这样的人物排在他前面的原因。他们每个人主要是发现了新的科学现象或定律。尽管如此，欧拉对科学、工程学和数学的贡献还是巨大的。

　　大师评价

　　欧拉计算起来轻松自如， 就像人们呼吸， 鹰在空中飞翔。

　　------ D.F.J.Arago （阿拉戈）

　　学习欧拉的著作，乃是认识数学最好的工具。

　　------ Johann Carl Friedrich Gauss （卡尔·弗里德里希·高斯）

　　今天的学生从欧拉的无穷分析引论中所能获得的益处, 是现代任何一本教科书都不能比拟的。 ------ A.Weil（外尔）

　　读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师。

　　------Pierre-Simon Laplace（皮埃尔-西蒙·拉普拉斯）

　　我介绍高等分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。

　　------Johann Bernoulli（约翰·伯努利）

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　　纪念活动

　　前苏联

　　俄罗斯的近代数学可以认为从欧拉开始的，欧拉在俄国生活了 30 多年，他积极将先进的科学知识传入长期闭塞落后的俄罗斯，创立了俄罗斯第一个数学学派——欧拉学派，亲手将一大批俄罗斯青年引进了辉煌的数学殿堂。这也就不难理解，在许多前苏联和俄罗斯的书籍里，都亲切地称欧拉是“伟大的俄罗斯数学家”。为了纪念欧拉诞辰250周年，前苏联于1957年发行了印有欧拉头像的邮票。文字内容为：欧拉，伟大的数学家和学者，诞辰250周年。[8]

　　瑞士

　　在一个小国家里诞生一位科学巨匠，这在世界史上并不多见。瑞士数学家欧拉便是其中最出色的一位，虽然他成年以后一直生活在两座遥远的异国城市：彼得堡和柏林，他的肖像画却出现在瑞士法郎上，与英镑上的牛顿一起成为至今仍流通欧洲的纸币上仅有的两位科学家。1707年4月15日，欧拉出生在瑞士西北部邻近法国和德国的巴塞尔，这座通用法语的城市至今人口仍不足20万，却拥有瑞士最早的学府———巴塞尔大学（1460），莱茵河蜿蜒着穿过她的中心。德国哲学家尼采年轻时曾在巴塞尔大学担任过十年的古典文献学教授，在那里完成了他的代表作《悲剧的诞生》，并与在近郊安度晚年的音乐家瓦格纳成为莫逆之交。[9]

　　瑞士是欧拉的出生地，也是欧拉学习和生活过的地方，为了纪念欧拉的数学贡献，以及对世界科学的影响，瑞士于1957年发行一套邮票，以此纪念欧拉的250周年诞辰，又于2007年发行新的纪念邮票，纪念欧拉诞辰300周年。[10]

　　德国

　　1740年，安娜女皇退位并于当年去世，欧拉遂接受了普鲁士国王腓特烈大帝的邀请，到柏林科学院担任数学部主任。欧拉与普鲁士国王相处并不愉快，因为国王喜欢溜须拍马的大臣。腓特烈大帝之所以支持数学只是感到那是一种责任，但他从内心里讨厌这门学问，因为他自己的数学很蹩脚，这方面他无法与法兰西皇帝拿破仑相比，后者自称是个几何学家，并与同时代所有的巴黎数学家都交上了朋友。即使达朗贝尔十分坦率地告诉普鲁士国王，把任何其他数学家置于欧拉之上都是一种错误的行为。可惜的是，这不仅没有让自负的国王改变对欧拉的看法，反而变本加厉使得欧拉更难以忍受。为了自己子女的前途，欧拉只好打点行装，离开了生活了25年之久的柏林，再次回到了寒冷的彼得堡，他的妻子和儿孙们也一同返回。

　　在欧拉回到彼得堡之后，女皇以皇室的规格接待他，拨给他一栋可供全家18人居住的大房子和成套的家具，并派去自己的一个厨子。恼羞成怒的普鲁士国王只得写信给法国数学家拉格朗日，“欧洲最伟大的国王希望欧洲最伟大的数学家在他的宫里。”显而易见，他对欧拉的离任耿耿于怀。

　　为了纪念曾经生活在德国的欧拉，德国曾于1950年，1957年，1983年发行了纪念邮票。1950年，在纪念柏林科学院成立250周年的一套邮票中就有画有欧拉头像的邮票。1957年的"Famous Scientists"系列票中也有欧拉的头像。1983年发行的纪念邮票是为了纪念欧拉的200周年忌辰。

　　中国

　　为庆祝欧拉诞辰300周年，瑞士政府、中国科学院及中国教育部于2007年4月23日下午在北京的中国科学院文献情报中心共同举办纪念活动，回顾欧拉的生平、工作及对现代生活的影响。瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber在开幕致词中说：“今天，我们在这里纪念近代历史上最伟大的学者之一。没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。”

　　中国科学院副秘书长郭华东、教育部国际合作司司长助理徐永吉、中国科学院数学与系统科学研究院院长郭雷也分别发表了致词。

　　值得一提的是，吴文俊院士也出席了纪念活动，并介绍了欧拉和中国古代数学家之间不谋而合的研究方向。[11]

　　美国

　　2013年4月15日是欧拉诞辰的306周年，谷歌更换了首页涂鸦向这位数学天才致敬。在那天的谷歌涂鸦中，融入了许多莱昂哈德?欧拉的数学成就。[12]

　　数频- 欧拉常数

　　欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)

　　欧拉常数r=1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + .....,可以独立,本身不错.但是和调和级数无关.

　　数频-欧拉常数R=1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1/8+1/27+...+1/n^3) + ......

　　后面那一串和都是收敛的，在数频科学重新记为

　　1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + R, R为数频-欧拉常数=0.273.......1/3.

　　R=1/2*(1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1/8+1/27+...+1/n^3) + ......

　　以下为了更正,用R取代r才是本来的关系式:

　　欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是欧拉的一个误算,一个与调和级数与自然对数的差值的极限无关的常数,必须更正。以下所有r都有R来去代.

　　最著名欧拉常数是两个不同的无理数

　　The most different Euler constant is irrational number

　　Wu Hefa

　　(Shandong province Shanxian Country Zhong xing Zhen Wu Ji Cun Heze China 274329 )

　　Abstract: Two different Euler constant is irrational number:R=0.5772…,r=0.273…

　　Key words : Euler constant ; the reciprocal of the law of natural numbers ; irrational number

　　古老的调和级数1+1/2+1/3+…+1/n+…曾经是世界上未能解决的顶尖难题.欧拉的天才使他最先得到这级数的形式公式,得到了后人以欧拉名字命名的欧拉常数r,并计算了r=0.57721…,很遗憾!这是一个不可更改的误算!但也很幸运！它导致今天两个不同欧拉常数的振奋人心的发现和科学的证明.

　　在一次偶然阅读等比级数的分析时我有幸发现了自然数的倒数定律,才忽然顿悟：这比我下面应用它发现并证明了欧拉常数是两个不同的无理数更有深远的科学意义.

　　1.欧拉常数r的来源欧拉常数r是客观存在的,这是不争的事实.所谓数频-----欧拉常数r就是既充分尊重欧拉的发现,在加上必然的数频条件,这些恰好来自数频科学,因此它是经典数学之级数向数频科学化的一次飞跃,数频定律使我们相信这样的解释是合理的客观的.

　　1734年欧拉Euler利用牛顿Newton的成果,首先获得了调和级数的有限项求和的值.

　　1+1/2+1/3+…+1/n=ln(n+1)+r, 其过程如下:

　　由ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+… , ﹙－1＜x≤1﹚

　　x=1, ln(1+1)=ln2=1-1/2+1/3-1/4+…;

　　x=1/2, ln(1+1/2)=ln3/2=1/2-1/2·1/2^2+1/3·1/2^3-1/4·1/2^4+…;

　　x=1/3, ln(1+1/3)=ln4/3=1/3-1/2·1/3^2+1/3·1/3^3-1/4·1/3^4+…;

　　… … …

　　x=1/n, ln(1+1/n)=ln[(n+1)/n]=1/n-1/2·1/n^2+1/3·1/n^3-1/4·1/n^4+…;

　　将以上各式相加,并整理得:1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=ln(1+n)+r ,

　　r=1/2(1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/n^2)-1/3(1/2^3+1/3^3+1/4^3+…)

　　+1/4(1/2^4+1/3^4+1/4^4+…)-1/5(1/2^5+1/3^5+1/4^5+…)+…

　　=1/2∑1/n^2-1/3∑1/n^3+1/4∑1/n^4-1/5∑1/n^5+…+[(-1)^(n-1)]/n∑1/n^n. (n=2,∞) ①式

　　这就是青年时期的数学家欧拉对调和级数做出的伟大贡献和精彩分析,它是近代现代经典级数理论的不可避开的标尺之一.

　　2. 自然数的倒数定律 即1/n=1/(1+n)+1/(1+n)^2+1/(1+n)^3+…+1/(1+n)^n-1+1/n·1/(1+n)^n.

　　n=1, 1=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^4+…=1/2(1-1/2^n)/(1-1/2)+1·(1/2)^n=1;

　　n=2, 1/2=1/3+1/3^2+1/3^3+1/3^4+…=1/3(1-1/3^n)/(1-1/3)+1/2·(1/3^n);→

　　n=3, 1/3=1/4+1/4^2+1/4^3+1/4^4+…=1/4(1-1/4^n)/(1-1/4)+1/3·(1/4^n);

　　… … … …

　　这一定律的数频科学意义在于它是恒等式,不是经典数学中的不严密的近似理论,不论n是任何自然数都成立.这一定律是奠定数频科学基础的定律之一,略作简介此处暂不详谈.

　　将以上各式相加，左边=1+1/2+1/3+1/4+…+1/n

　　右边=[1/2+1/3+1/4+…+1/(n+1)]+[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…+1/(n+1)2]

　　+[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…+1/(n+1)^3]+[1/2^4+1/3^4+1/4^4+…+1/(n+1)^4]+…

　　∴整理左边=右边,得 1-1/(n+1)=[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…]+[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…]+… ②式

　　∴n→∞,有 1=[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…]+[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…]+[1/2^4+1/3^4+1/4^4…]+… ,

　　∴1/2=1/2[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…]+1/2[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…]+1/2[1/2^4+1/3^4+1/4^4+…]+…

　　＞1/2[1/2^2+1/3^2+1/4^2+…]-1/3[1/2^3+1/3^3+1/4^3+…]+1/4+[1/2^4+1/3^4+1/4^4+…]-…= r＞0 ,

　　即1/2＞r＞0 .这就是数频----欧拉常数r的初步结论.显然它否定的只是r=0.5772…的结论而不是它的表达式,在这一问题上所有计算结果如在2009年3月13日Alexander .j.Yee和Raymond Chan的计算欧拉常数r前29844489545位等可瞬间化为乌有,如果没有科学分析及时挽救的话.

　　3.证明 0＜r＜1/3, 可同时证明r为无理数

　　根据欧拉等人的成果: n→∞,有

　　ζ2=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…=(π^2)/6 ; ζ3=1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+…=1.202056903…阿培里常数

　　ζ4=1+1/2^4+1/3^4+1/4^4+…=(π^4)/90=1.0823…; ζ5=1+1/2^5+1/3^5+1/4^5+…=1.03692775…

　　ζ6=1+1/2^6+1/3^6+1/4^6+…=(π^6)/945=1.002476…; ……

　　ζ8=1+1/2^8+1/3^8+1/4^8+…=(π^8)/9450=1.0039827…; ……

　　显然ζ2＞ζ3＞ζ4＞ζ5＞ζ6＞ζ7＞ζ8＞……

　　设R=1/2ζ2-1/3ζ3+1/4ζ4-1/5ζ5+…+(-1)n-1(ζn)/n

　　=1/2(1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+…)-1/3(1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+…)+1/4(1/2^4+1/3^4+1/4^4+…)-…

　　+(-1)n-1(1+1/2^n+1/3^n +1/4^n +…)/n

　　=(1/2-1/3+1/4-1/5+…)+[1/2∑1/n^2-1/3∑1/n^3+1/4∑1/n^4-1/5∑1/n^5+…], (n=2,∞)

　　=(1-ln2)+r ③式

　　由于R是交错级数的变形递减涵数,根据交错级数审敛法,总有

　　R＜1/2ζ2-1/3ζ3+1/4ζ4-1/5ζ5+1/6ζ-1/7ζ7 +1/8ζ8＜1/2ζ, 其中1/7ζ7用1/8ζ8代替

　　仍有R＜1/2ζ2-1/3ζ3+1/4ζ4-1/5ζ5+1/6ζ6-1/7ζ8+1/8ζ8=0.628420…

　　∴R=1-ln2+r＜0.62842…, r＜0.628420…+ln2 -1=0.321520…＜1/3.

　　注解: ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+…+[(-1)n-1]/n .

　　欧拉常数r自产生以来,无人证明它是否为有理数,现在来证明数频---欧拉常数r为无理数.在③式 R=1-ln2+r1/3,不论R是有理数还是无理数, r都是无理数. 完毕.

　　4.两个不同的欧拉常数都是无理数

　　明白了欧拉推导欧拉常数的过程,见①式,就会产生必然的疑问:欧拉近似计算的所谓欧拉常数x=0.57721…到底是什么.事实上欧拉计算的欧拉常数x与他在①式得到的结果不是一回事:欧拉从 1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=ln(n+1)+r,

　　应该得到的是r=1/2∑1/n2-1/3∑1/n3+1/4∑1/n4-1/5∑1/n5+…, ﹙ n=2, ∞﹚

　　即n不是从1开始而是从2到∞.

　　但是欧拉计算的欧拉常数x=1/2∑1/n2-1/3∑1/n3+1/4∑1/n4-1/5∑1/n5+…却是﹙n=1,∞﹚,因此得到的结果也就不同.比较①与③式,不难发现欧拉计算的欧拉常数x就是R,通过数频的条件联系在一起,应该是两个不同的欧拉常数,并且都是无理数.

　　于是我们得到: R=0.57721…=1-ln2+r, 1/4＜r=0.273…＜1/3.

　　如果当时欧拉比较一下他自己的成果,相信他是不难做到的,甚至能取得更大的发现.怀着这样的心情,以此来悼念和宽慰我们伟大的还不曾远逝的数学大师----莱昂哈德.欧拉Euler.

　　数频科学的曙光开始散去了一直笼罩在经典调和级数上的迷雾, …

　　参考文献

　　[1]. 黎曼ζ函数维基百科自由百科全书

　　[2]. 数学分析 陈纪修等编 ,--2版--北京 高等教育出版社2004.9 下册p77例子10.2.8

　　参考资料：

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　　吴合法. 《数频科学》： 吉林大学出版社， 2015.11. 30-33.

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　　参考资料：

　　1.

　　欧拉常数

　　搜狗百科 [引用日期]

　　2.

　　瑞士著名数学家莱昂哈德·欧拉出生

　　3.

　　莱昂哈德·欧拉

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　　莱昂哈德·欧拉

　　5.

　　数学家欧拉：所有人的老师

　　6.

　　数学大师欧拉：“他是我们所有！”

　　7.

　　Euler Committee of the Swiss Academy of Sciences

　　8.

　　纪念数学家欧拉的纸币和邮票

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　　他停止了生命和计算

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　　纪念数学家欧拉的纸币和邮票

　　11.

　　数学家欧拉诞辰300周年纪念活动在京举行

　　12.

　　谷歌Doodle纪念数学家莱昂哈德·欧拉诞辰